Rif Kiddushin 30a {68b - 69a; 70b; 72b}

30a

{Kiddushin 68b}

ולדה כמוה מנלן אמר קרא כי תהיין וילדו לו
כל היכא דקרינא ביה כי תהיין קרינא ביה וילדו לו
וכל היכא דלא קרינא ביה כי תהיין לא קרינא ביה וילדו לו

That her child {of the gentile woman} is like her, from where do we know? Scriptures states {Devarim 21}:

טו כִּי-תִהְיֶיןָ לְאִישׁ שְׁתֵּי נָשִׁים, הָאַחַת אֲהוּבָה וְהָאַחַת שְׂנוּאָה, וְיָלְדוּ-לוֹ בָנִים, הָאֲהוּבָה וְהַשְּׂנוּאָה; וְהָיָה הַבֵּן הַבְּכֹר, לַשְּׂנִיאָה.

15 If a man have two wives, the one beloved, and the other hated, and they have borne him children, both the beloved and the hated; and if the first-born son be hers that was hated;

Any place where we call upon it "when he has" {and thus marriage is possible}, we call upon it "and they have borne to him." And any place where we do not call upon it "when he has," we do not call upon it "and they have borne to him."

{Kiddushin 69a}
Mishna:

רבי טרפון אומר יכולין הן ממזרים ליטהר כיצד ממזר שנשא שפחה הולד עבד שחררו נמצא הבן בן חורין
רבי אליעזר אומר הרי זה עבד וממזר:

Rabbi Tarfon says: The bastards are able to purify themselves.
How so? A bastard who married a {Canaanite} maidservant, the child is a slave. If they free him {=the child}, the child will thus be a free man {and an Israelite without pegam}.
Rabbi Eliezer says: Behold he is both a slave and a bastard.

Gemara:

א"ר יהודה אמר שמואל הלכה כר' טרפון
ואיבעיא לן ר' טרפון לכתחלה קאמר או דיעבד קאמר
ואסיקנא דלכתחלה קאמר ודוקא ממזר לשפחה אבל ממזרת לעבד לא דעבד אין לו חייס
והיינו דאמר ר' יהושע בן לוי כסף מטהר ממזרים שנאמר וישב מצרף ומטהר כסף:

Rav Yehuda cited Shmuel: The halacha is like Rabbi Tarfon.
And it was a question to us -- was Rabbi Tarfon speaking ab initio or after the fact?
And we conclude that he was speaking ab initio. And specifically a bastard to a maidservant, but a bastardess to a slave, no, for a slave has no lineage.
And this is what Rabbi Yehoshua ben Levi said: Money can purify bastards, for it is written {Malachi 3:3}:

ג וְיָשַׁב מְצָרֵף וּמְטַהֵר, כֶּסֶף, וְטִהַר אֶת-בְּנֵי-לֵוִי וְזִקַּק אֹתָם, כַּזָּהָב וְכַכָּסֶף; וְהָיוּ, לַה', מַגִּישֵׁי מִנְחָה, בִּצְדָקָה.

3 And he shall sit as a refiner and purifier of silver; and he shall purify the sons of Levi, and purge them as gold and silver; and there shall be they that shall offer unto the LORD offerings in righteousness.

{where we split kesef off}
סליק פירקא

BEGIN PEREK FOUR

Mishna:

עשרה יוחסין עלו מבבל כהני לויי ישראלי חללי גירי חרורי ממזרי נתיני שתוקי ואסופי
כהני לויי וישראלי מותרין לבא זה בזה
לויי וישראלי חללי גירי חרורי מותרין לבא זה בזה
גירי חרורי ממזרי נתיני שתוקי ואסופי מותרין לבא זה בזה:

Ten lineages came up from Bavel. Kohanim, Levites, Israelites, chalalim {from certain improper relationships pf Kohanim}, converts, freed slaves, bastards, Netinim, Shetukim, and Asufim.
Kohanim, Levites, and Israelites are permitted to marry with each other.
Levites and Israelites, chalalim, converts, and freed slaves are permitted to marry with each other.
Converts, freed slaves, bastards, Netinim, Shetukim, Asufim are permitted to marry with each other.

{Kiddushin 70b}
Gemara:

אמר רבי אבין בר רב אדא אמר רב כל הנושא אשה שאינה הוגנת לו כשהקב"ה מעיד על השבטים אין מעיד עליו שנאמר ששם עלו שבטים שבטי יה עדות לישראל
אמר רב חמא בר חנינא כשהקב"ה משרה שכינתו אין משרה אותה אלא על משפחות מיוחסות שבישראל שנאמר בעת ההיא נאם ה' אהיה לאלהים לכל משפחות ישראל:

Rabbi Avin bar Rav Adda cited Rav: Anyone who marries a women who is not appropriate for him, when Hashem testifies upon the tribes {see girsa in our gemara}, He will not testify about him. For it is stated {Tehillim 122:4}:

ד שֶׁשָּׁם עָלוּ שְׁבָטִים, שִׁבְטֵי-יָהּ--עֵדוּת לְיִשְׂרָאֵל: לְהֹדוֹת, לְשֵׁם ה.

4 Whither the tribes went up, even the tribes of the LORD, as a testimony unto Israel, to give thanks unto the name of the LORD.

Rav Chama bar Chanina said: When Hashem makes his Divine Presence dwell, He will only make it dwell upon the families with {pure}lineage in Israel. For it is stated {Yirmeyahu 30:25}:

כה בָּעֵת הַהִיא, נְאֻם-ה, אֶהְיֶה לֵאלֹהִים, לְכֹל מִשְׁפְּחוֹת יִשְׂרָאֵל; וְהֵמָּה, יִהְיוּ-לִי לְעָם. {ס}

25 At that time, saith the LORD, will I be the God of all the families of Israel, and they shall be My people.

{Kiddushin 72b}

תנו רבנן ממזרים ונתינין טהורין לעתיד לבא דברי רבי יוסי
אמר רב יהודה אמר שמואל הלכה כרבי יוסי

The Sages learnt {in a brayta}: Bastards and Nitinim {the descendants of Gibeonite converts} will be purified in the future. These are the words of Rabbi Yossi.
Rav Yehuda cited Shmuel: The halacha is like Rabbi Yossi.